Tugas yang di berikan membuktikan bahwa transformasi linier rotasi di bidang 2 dimensi rotasi dalam \(R^2\) dengan matriks :

\[\begin{split}A = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}\end{split}\]

merupakan transformasi rotasi berlawanan arah jarum jam sebesar sudut \(\theta\)

pembuktian

Misalkan suatu vektor \(V=(x,y)\) dalam koordinat kartesian. Kita dapat menyatakannya dalam koordinat polar sebagai:

\[ \mathbf{v} = (x, y) = (r \cos \alpha, r \sin \alpha) \]

dengan

\(r = \left\| V \right\|\) (panjang vektor)

\(\alpha\) adalah sudut antara vektor \(v\) dengan sumbu-x positif

Transformasi \(A\) bertindak pada \(V\) sebagai berikut:

\[\begin{split}\mathbf{A} \cdot \mathbf{v} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} r \cos \alpha \\ r \sin \alpha \end{bmatrix} = r \begin{bmatrix} \cos \theta \cos \alpha - \sin \theta \sin \alpha \\ \sin \theta \cos \alpha + \cos \theta \sin \alpha \end{bmatrix}\end{split}\]

Gunakan identitas trigonometri:

\[\begin{split}\begin{align*} \cos(\alpha + \theta) & = \cos \alpha \cos \theta - \sin \alpha \sin \theta \\ \sin(\alpha + \theta) & = \sin \alpha \cos \theta + \cos \alpha \sin \theta \end{align*}\end{split}\]

Sehingga:

\[ A \cdot \mathbf{v} = r \left( \cos(\alpha + \theta), \sin(\alpha + \theta) \right) \]

Artinya, vektor hasil adalah vektor dengan panjang yang sama (karena rotasi mempertahankan panjang), dan sudut terhadap sumbu-x sebesar \(\alpha + \theta\), yaitu berputar berlawanan arah jarum jam sebesar \(\theta\)

jadi transformasi linier dengan matriks rotasi \(A\) tersebut memang merepresentasikan rotasi sebesar sudut \(\theta\) berlawanan arah jarum jam di bidang \(R^2\)