Eignvalue dan Eignvector

Eignvalue dan Eignvector#

Definisi Eignvalues dan Eignvector#

Untuk sebuah matriks kuadrat \(A\), sebuah eigenvalue \(\lambda\) dan eigenvector \(\vec{v}\) memenuhi:

\(A\vec{v} = \lambda \vec{v}\)

dengan syarat:

  • \(\vec{v} \neq \vec{0}\) (vektor tak nol)

  • \(\lambda \in \mathbb{R}\) atau \(\mathbb{C}\)

  • \(A \in \mathbb{R}^{n \times n}\) atau \(\mathbb{C}^{n \times n}\)

Interpretasi Geometris:#

Vektor \(\vec{v}\) tidak berubah arah ketika dikalikan dengan matriks \(A\), hanya panjang dan arahnya yang bisa berubah (karena \(\lambda\)).

Mencari Eigenvalue dan Eigenvector dengan Polinomial Karakteristik#

Urutkan eigenvector berdasarkan eigenvalue dari besar ke kecil.

Contoh Soal#

Matriks A:#

\[\begin{split} A : \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \end{split}\]

Jawaban:#

Langkah 1: Menentukan Eigenvalue#

Gunakan persamaan karakteristik:

\[ \det(A - \lambda I) = 0 \]
\[\begin{split} A - \lambda I = \begin{bmatrix} 3 - \lambda & 0 \\ 0 & 3 - \lambda \end{bmatrix} \end{split}\]
\[ \Rightarrow \det(A - \lambda I) = (3 - \lambda)^2 = 0 \]
\[ \Rightarrow \lambda_1 = 3, \quad \lambda_2 = 3 \]

Nilai eigen \(\lambda = 3\) muncul dua kali → aljabar multiplicity = 2

Langkah 2: Menentukan Eigenvector#

Kita cari vektor \(\vec{v}\) yang memenuhi:

\[ (A - 3I)\vec{v} = \vec{0} \]
\[\begin{split} \Rightarrow \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \end{split}\]

Persamaan ini selalu benar untuk semua vektor tak nol.

\[\begin{split} \Rightarrow \text{Eigenvector: } \vec{v} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}, \quad \text{dengan } x, y \in \mathbb{R},\ (x, y) \neq (0, 0) \end{split}\]
# Implementasi
import numpy as np

# Matriks A
A = np.array([[3, 0],
              [0, 3]])

# Hitung eigenvalue dan eigenvector
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)

# Urutkan indeks berdasarkan eigenvalue dari besar ke kecil
sorted_indices = np.argsort(eigenvalues)[::-1]

# Urutkan eigenvalue dan eigenvector sesuai indeks
eigenvalues_sorted = eigenvalues[sorted_indices]
eigenvectors_sorted = eigenvectors[:, sorted_indices]

# Cetak hasil
print("Eigenvalues (terurut):")
print(eigenvalues_sorted)

print("Eigenvectors (mengikuti eigenvalues):")
print(eigenvectors_sorted)

Eigenvalues (terurut):
[3. 3.]
Eigenvectors (mengikuti eigenvalues):
[[0. 1.]
 [1. 0.]]

Matriks B:#

\[\begin{split} B = \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} \end{split}\]

Langkah 1: Mencari Eigenvalue#

\[ \det(B - \lambda I) = (-2 - \lambda)(4 - \lambda) = 0 \]
\[ \Rightarrow \lambda_1 = -2,\quad \lambda_2 = 4 \]

Langkah 2: Mencari Eigenvector#

Untuk \(\lambda = -2\):#

\[\begin{split} (B + 2I) = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 6 \end{bmatrix} \Rightarrow y = 0 \end{split}\]
\[\begin{split} \vec{v}_1 = x\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad x \neq 0 \end{split}\]

Untuk \(\lambda = 4\):#

\[\begin{split} (B - 4I) = \begin{bmatrix} -6 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \Rightarrow x = 0 \end{split}\]
\[\begin{split} \vec{v}_2 = y\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad y \neq 0 \end{split}\]

Hasil Akhir:#

  • Eigenvalue: \(\lambda = -2, \lambda = 4\)

  • Eigenvector:

    • Untuk \(\lambda = -2\) : \(\vec{v}_1\) = x\( \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\)

    • Untuk \(\lambda = 4\) : \(\vec{v}_2\) = y\(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\)

import numpy as np

# Matriks A
A = np.array([[-2, 0],
              [0, 4]])

# Hitung eigenvalue dan eigenvector
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)

# Urutkan indeks berdasarkan eigenvalue dari besar ke kecil
sorted_indices = np.argsort(eigenvalues)[::-1]

# Urutkan eigenvalue dan eigenvector sesuai indeks
eigenvalues_sorted = eigenvalues[sorted_indices]
eigenvectors_sorted = eigenvectors[:, sorted_indices]

# Cetak hasil
print("Eigenvalues (terurut):")
print(eigenvalues_sorted)

print("Eigenvectors (mengikuti eigenvalues):")
print(eigenvectors_sorted)

Eigenvalues (terurut):
[ 4. -2.]
Eigenvectors (mengikuti eigenvalues):
[[0. 1.]
 [1. 0.]]