Perkalian Silang (Cross Product)

Perkalian Silang (Cross Product)#

Definisi Hasil Kali Silang#

\(\vec{u} = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix}\)

adalah vektor-vektor di \(\mathbb{R}^3.\)

Hasil kali silang dari \(\vec{u}\) dan \(\vec{v}\) dinotasikan sebagai \(\vec{u} \times \vec{v}\) adalah:

\(\vec{u} \times \vec{v} = \begin{bmatrix} u_2 v_3 - u_3 v_2 \\ u_3 v_1 - u_1 v_3 \\ u_1 v_2 - u_2 v_1 \end{bmatrix}\)

Contoh Penghitungan Hasil Kali Silang#

Misalkan

\(\vec{u} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix} \quad \text{dan} \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 5 \end{bmatrix}\)

Temukan \(\vec{u} \times \vec{v}\), dan verifikasi bahwa hasil kali silang ini tegak lurus terhadap baik \(\vec{u} \) maupun \( \vec{v}.\)

Solusi#

Menggunakan definisi:

\(\vec{u} \times \vec{v} = \begin{bmatrix} (-1)(5) - (4)(2) \\ -((2)(5) - (4)(3)) \\ (2)(2) - (-1)(3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -13 \\ 2 \\ 7 \end{bmatrix}\)

Menggunakan determinan untuk menemukan perkalian silang#

Pertama, kita membentuk array \(3 \times 3\) seperti yang ditunjukkan di bawah ini:

\[\begin{split}\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}\end{split}\]

Hasil dari \(\mathbf{u} \times \mathbf{v}\) adalah:

\(\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}=(u_2v_3 - u_3v_2) \hat{i} - (u_1v_3 - u_3v_1) \hat{j} + (u_1v_2 - u_2v_1) \hat{k}\)

Contoh#

\[\begin{split} \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 4 \\ 3 & 2 & 5 \end{vmatrix} \Rightarrow -\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} \hat{i} = -(-1)(5) - (4)(2)\hat{i} = -13\hat{i} \end{split}\]
\[\begin{split} \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 4 \\ 3 & 2 & 5 \end{vmatrix} \Rightarrow \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \hat{j} = -(-2)(5) - (4)(3)\hat{j} = -2\hat{j} \end{split}\]
\[\begin{split} \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 4 \\ 3 & 2 & 5 \end{vmatrix} \Rightarrow -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \hat{k} = (2)(2) - (-1)(3)\hat{k} = 7\hat{k} \end{split}\]

Sehingga

\[\begin{split} \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 4 \\ 3 & 2 & 5 \end{vmatrix} \end{split}\]
\[\begin{split} = 13\hat{i} - (-2)\hat{j} + 7\hat{k} = \begin{bmatrix} -13 \\ 2 \\ 7 \end{bmatrix} \end{split}\]

Hasil Kali Silang dan Sudut#

Misalkan \(\mathbf{u}\) dan \(\mathbf{v}\) adalah vektor tak nol di \(\mathbb{R}^3\). Maka:

\[ \|\mathbf{u} \times \mathbf{v}\| = \|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\| \sin(\theta), \]

di mana \(\theta\), \(0 \leq \theta \leq \pi\), adalah sudut antara \(\mathbf{u}\) dan \(\mathbf{v}\).

Implementasi#

Luas Jajaran Genjang#

Secara geometris, luas jajaran genjang adalah:

\(A = bh\) di mana \(b\) adalah panjang alas dan \(h\) adalah tinggi jajaran genjang, seperti yang ditunjukkan dalam Gambar (a).

Ketika kita mendefinisikan aturan jajaran genjang penjumlahan vektor, dua vektor \(\vec{u}\) dan \(\vec{v}\) membentuk jajaran genjang jika ditarik dari titik awal yang sama, seperti yang ditunjukkan dalam Gambar (b). Trigonometri mengatakan bahwa: \(h = \lVert \vec{u} \rVert \sin(\theta),\) sehingga luas jajaran genjang adalah:

\(A = \lVert \vec{u} \rVert \lVert \vec{v} \rVert \sin(\theta) = \lVert \vec{u} \times \vec{v} \rVert.\)

TUGAS#

1. Tentukan luas jajaran genjang yang ditentukan oleh vektor#

\[\begin{split} \vec{u} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}. \end{split}\]

Jawab:

Anggap vektor berada di \(\mathbb{R}^3\):

\(\vec{u} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\)

Hasil kali silang: \(\vec{u} \times \vec{v} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -3 \end{bmatrix}\)

Luas jajaran genjang: \(A = \|\vec{u} \times \vec{v}\| = \sqrt{(-3)^2} = \boxed{3}\)

2. Tentukan luas jajaran genjang yang ditentukan oleh vektor#

\[\begin{split} \vec{u} = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \end{bmatrix}. \end{split}\]

Jawab:

Bentuk 3 dimensi: \(\vec{u} = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}\)

Hasil kali silang: \(\vec{u} \times \vec{v} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{bmatrix}\)

Luas jajaran genjang: \(A = \|\vec{u} \times \vec{v}\| = \boxed{6}\)

3. Tentukan luas segitiga dengan titik-titik sudut#

\((0, 0, 0), \quad (1, 3, -1), \quad (2, 1, 1).\)

Jawab:

Vektor: \(\vec{AB} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{bmatrix}, \quad \vec{AC} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\)

Hasil kali silang: \(\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{bmatrix} (3)(1) - (-1)(1) \\ -[(1)(1) - (-1)(2)] \\ (1)(1) - (3)(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ -3 \\ -5 \end{bmatrix}\)

Panjang vektor: \(\|\vec{AB} \times \vec{AC}\| = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{50}\)

Luas segitiga: \(A = \frac{1}{2} \sqrt{50} = \boxed{\frac{5\sqrt{2}}{1}}\)

4. Tentukan luas segitiga dengan titik-titik sudut#

\[ (5, 2, -1), \quad (3, 6, 2), \quad (1, 0, 4). \]

Jawab:

Vektor: \(\vec{AB} = \begin{bmatrix} -2 \\ 4 \\ 3 \end{bmatrix}, \quad \vec{AC} = \begin{bmatrix} -4 \\ -2 \\ 5 \end{bmatrix}\)

Hasil kali silang: \(\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{bmatrix} (4)(5) - (3)(-2) \\ -[-2(5) - 3(-4)] \\ -2(-2) - 4(-4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 26 \\ -2 \\ 20 \end{bmatrix}\)

Panjang: \(\|\vec{AB} \times \vec{AC}\| = \sqrt{26^2 + (-2)^2 + 20^2} = \sqrt{1080}\)

Luas segitiga: \(A = \frac{1}{2} \sqrt{1080} = \boxed{\frac{\sqrt{1080}}{2}}\)