Matriks#
Definisi Matriks#
Matriks adalah sebuah susunan persegi panjang yang terdiri dari elemen-elemen (angka atau simbol) yang terorganisir dalam baris dan kolom. Matriks tersusun dari baris dan kolom, Baris di sumbu x dan kolom disumbu y. Matriks biasanya dituliskan dengan huruf besar, contoh \(A=[a]ij\), dimana A merepresentasikan matriks, i merupakan baris dan j merupakan kolom.
Operasi Aritmetika Matriks#
1. Penjumlahan Matrik#
Konsep penjumalahan matriks:
Penjumlahan matriks adalah operasi yang dilakukan dengan menjumlahkan elemen-elemen yang bersesuaian pada dua matriks yang memiliki ukuran yang sama.Penjumlahan matriks dapat dilakukan jika jumlah baris dan kolomnya sama.
Terdapat dua buah matriks yaitu matriks A dan matriks B yang memiliki ukuran baris dan kolom yang sama, maka penjumlahan matriks A + B akan menghasilkan matriks C = A + B
Dimana elemen \(c_{ij}\) pada matriks hasil penjumlahan C adalah hasil penjumlahan elemen - elemen yang bersesuai pada matriks A dan B.
contoh penjumlahan matriks:
Misal ada 2 matriks A dan B:
penjumlahan A + B adalah:
Jadi hasil penjumlahan matriks A + B =
# implementasi ke python penjumlahan matriks
A=[[1,3],[2,4]]
B=[[2,6],[4,8]]
baris=len(A)
kolom=len(A[0])
C=[]
for i in range(baris):
matbaru=[]
for j in range (kolom):
matbaru.append(A[i][j] + B[i][j])
C.append(matbaru)
print('hasil penjumlahan matriks A + B adalah: ')
for row in C:
print(row)
hasil penjumlahan matriks A + B adalah:
[3, 9]
[6, 12]
2. Perkalian Matriks#
Konsep perkalian matriks:
Perkalian matriks adalah operasi yang dilakukan antara dua matriks untuk menghasilkan matriks baru. Tidak semua matriks dapat diperkalikan, untuk dapat melakukan perkalian, jumlah kolom pada matriks pertama harus sama dengan jumlah baris pada matriks kedua.
Secara matematis, jika kita memiliki dua matriks A dan B, maka perkalian matriks \(A×B\) akan menghasilkan matriks \(C\). Dengan syarat:
Matriks A memiliki ukuran \(m×n\) (m baris, n kolom)
Matriks B memiliki ukuran \(n×p\) (n baris, p kolom)
Maka hasil perkalian C akan memiliki ukuran \(m×p\)
Cara melakukan perkalian matriks
Dari perkalian matriks di atas akan menghasilkan matriks C dengan ukuran \(m x p\)
Setiap elemen \(c_{ij}\) (elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks hasil) dihitung dengan cara mengalikan elemen baris ke-i dari matriks \(A\) dengan elemen kolom ke-j dari matriks \(B\), lalu menjumlahkan hasil perkalian tersebut. Secara matematis:
ini berarti untuk setiap elemen yang dihasilkan dalam perkalian, dengan cara mengambil elemen-elemen dari baris tertentu matriks \(A\) kemudian dikalikan dengan elemen-elemen dari kolom tertentu pada matriks \(B\) dan menjumlahkan hasil perkalian tersebut.
contoh perkalian matriks
misal memiliki 2 matriks sebagai berikut:
untuk menghitung matriks hasil, \(C = A x B =\)
Dengan elemen-elemen yang dihitung sebagai berikut:
\(c_{11} = (2 x 1) + (3 x 3) + (4 x 5) = 31\)
\(c_{12} = (2 x 4) + (3 x 7) + (4 x 1) = 33\)
\(c_{13} = (2 x 2) + (3 x 2) + (4 x 4) = 26\)
\(c_{21} = (1 x 1) + (3 x 3) + (5 x 5) = 35\)
\(c_{22} = (1 x 4) + (3 x 7) + (5 x 1) = 30\)
\(c_{23} = (1 x 2) + (3 x 2) + (5 x 4) = 28\)
\(c_{31} = (4 x 1) + (3 x 3) + (6 x 5) = 43\)
\(c_{32} = (4 x 4) + (3 x 7) + (6 x 1) = 43\)
\(c_{33} = (4 x 2) + (3 x 2) + (6 x 4) = 38\)
maka hasil matriks C adalah:
# implementasi ke python perkalian matriks
A=[[2,3,4],[1,3,5],[4,3,6]]
B=[[1,4,2],[3,7,2],[5,1,4]]
C=[]
for i in range(len(A)):
temp=[]
for j in range(len(B[0])):
total=0
for k in range(len(B)):
total=total+(A[i][k] * B[k][j])
temp.append(total)
C.append(temp)
print('hasil perkalian matriks A x B adalah: ')
for row in C:
print(row)
hasil perkalian matriks A x B adalah:
[31, 33, 26]
[35, 30, 28]
[43, 43, 38]
3. Perkalian Skalar Matriks#
Konsep perkalian skalar matriks:
Perkalian skalar matriks berati mengalikan semua elemen yang ada pada matriks dengan bilangan skalarnya. Operasi ini tetap mempertahankan dimensi matriks atau tidak merubah dimensi matriks.
cara melakukan perkalian skalar matriks:
Misal ada matriks \(A\) berukuran \(m\) x \(n\) :
dengan skalar \(k\), maka perkalian matriks skalar adalah \(kA\):
contoh perkalian skalar matriks:
Terdapat matriks:
dan skalar \(k = 2\), maka hasil perkalian skalar matriks:
Jadi, semua elemen yang ada pada matriks \(A\) dikalikan dengan skalar yaitu \(3\), dan akan memperoleh matriks tersebut.
# implementasi python perkalian skalar matriks
A=[[1,6,5],[2,7,4],[3,8,3]]
k=3
kA=[]
for i in range (len(A)):
temp=[]
for j in range (len(A[0])):
temp.append(A[i][j]*k)
kA.append(temp)
print('hasil perkalian skalar matriksnya adalah: ')
for row in kA:
print(row)
hasil perkalian skalar matriksnya adalah:
[3, 18, 15]
[6, 21, 12]
[9, 24, 9]
Penyelesaian Persamaan Menggunakan Invers Matriks (Invers dicari menggunakan Operasi Baris Elementer)#
soal:#
Jawaban:#
Dibuat matriks \(A, x = b\):
Tulis Matriks A berdampingan dengan matriks Identitas:
Lakukan OBE agar matriks kiri menjadi matriks identitas
Mencari \(A^{-1}\) menggunakan Operasi Baris Elementer
Ubah elemen pivot (1,1) menjadi 1.
\(R_1 \leftarrow R_1/7\)
Hasil:
Nol kan elemen di bawah pivot (kolom 1, baris 2 dan 3)
\(R_2 \leftarrow R_2 - 5R_1\)
\(R_3 \leftarrow R_3 - R_1\)
Hasil:
Ubah elemen pivot (2,2) menjadi 1
\(R_2 \leftarrow R_2 7/5\)
Hasil:
Nol kan elemen di atas dan di bawah pivot (kolom 2, baris 1 dan 3)
\(R_1 \leftarrow R_1 - 6/7R_2\)
\(R_3 \leftarrow R_3 + 6/7R_2\)
Hasil:
Ubah elemen pivot (3,3) menjadi 1
\(R_3 \leftarrow R_3 7//10\)
Hasil:
Sekarang bagian kanan adalah \(A^{-1}\)
Hitung \(X = A^{-1}B\)
Hitung Perkalian:
\(x_1 = (-5/7)(-33)+(-6/5)(24)+(-36/35)(5)=25\)
\(x_2 = (4/7)(-33)+(7/5)(24)+(26/35)(5)=-4\)
\(x_3 = (1/2)(-33)+(3/5)(24)+(7/10)(5)= 3\)
Determinan Matriks#
Determinan matriks merupakan nilai skalar yang dihitung dari elemen matriks (matriks bujur sangkar), dan tujuannya mencari invers.
Matriks Bujur Sangkar yaitu matriks yang ukuran baris dan kolomnya sama, tapi belum tentu memiliki determinan matriks.
Matriks dikategorikan menjadi dua berdasarkan determinannya, yaitu:#
a. Matriks Singular: Matriks yang determinannya 0, dan pasti tidak mempunyai invers.
b. Matriks Non-Singular: Matriks yang determinannya memiliki nilai, dan pasti ada inversnya.
Minor dan Cofactor#
a. Minor: Nilai determinan submatriks yang diperoleh dengan menghapus baris dan kolom tertentu dari matriks.
b. Cofactor: Hasil perkalian minor dengan faktor tanda \((-1)^{i+j}\), dimana i adalah indeks baris dan j adalah indeks kolom.
contoh soal mencari determinan matriks dengan konsep minor dan cofactor#
ukuran matriks 3x3#
Dikerjakan menggunakan konsep minor dan cofactor,
Langkah 1: tentukan minornya terlebih dahulu, di sini akan menentukan minor dengan konsep kolom yang berjalan. Matriks berukuran \(3x3\) jadi minor yang akan di cari yaitu: \(a_{11}\), \(a_{12}\), \(a_{13}\).
Untuk minor \(a_{11}\) berarti menghapus baris ke 1 kolom ke 1, begitu juga dengan minor matriks yang lain dan akan diperoleh matriks berukuran \(2x2\) sebagai berikut:
Langkah 2: Setelah mendapatkan matriks minor \(a_{11}\), selanjutnya cari determinan dari matriks tersebut, dengan rumus \(ad-bc\). Langkah ini dilakukan sampai dengan minor matriks selesai.
\(a_{11}\) det A= \((7 x 3) - (4 x 8) = 21 - 32 = -11\)
\(a_{12}\) det A= \((2 x 3) - (4 x 3) = 6 - 12 = -6\)
\(a_{13}\) det A= \((2 x 8) - (7 x 3) = 16 - 21 = -5\)
Langkah 3: Setelah ditemukan determinan tiap minornya, langkah selanjutnya mencari cofactornya, dengan rumus:
\(C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\) dalam artian i adalah baris dan j adalah kolom
Cofactornya yaitu:
\(C_{11}\)=\(-1^{1+1}-11\) = \(1(-11) = -11\)
\(C_{12}\)=\(-1^{1+2}-6\)= \(-1(-6) = 6\)
\(C_{13}\)=\(-1^{1+3}-5\)= \(1(-5) = -5\)
Langkah 4: Setelah Cofaktornya sudah ditemukan, langkah selanjutnya mencari det(A), yaitu dengan rumus:
maka:
Jadi, det(A)=0, yang berarti matriks singular (tidak memiliki invers)
ukuran matriks 4x4#
Langkah 1: ekspansi berdasarkan baris pertama, yaitu:
Dimana \(M_{ij}\) adalah determinan minor, yaitu matriks 3x3 yang diperoleh dari menghapus baris 1 dan kolom ke-\(_j\).
Langkah 2: Menghitung minor 3x3
Minor \(M_{11}\)
Minor \(M_{12}\)
Minor \(M_{13}\)
Minor \(M_{14}\)
Langkah 3: Menghitung determinan 3x3 dengan ekspansi
Dimana \((M_{11}^{2 \times 2})\) adalah matriks minor 2x2.
\(det(M_{11})\)=
\(det(M_{12})\)=
\(det(M_{13})\)
\(det(M_{14})\)
Langkah 4: setelah ditemukan semua determinan 3x3 dengan ekspansi, selanjutnya menghitung determinan akhir, yaitu:
Jadi, det(A)=0, matriks ini singular(tidak memiliki invers)
ukuran matriks 5x5#
Langkah 1: Menghitung minor 5x5 menjadi 4x4
Langkah 2: Setelah ditemukan semua minornya, selanjutnya menghitung determinan dari matriks 4x4 tersebut, menggunakan konsep ekspansi kofaktor pada baris pertama:
Untuk \(M_{11}\):
Untuk menghitung \(C_{ij} = (-1)^{i+j}\) det \((M_{ij}^{3 \times 3})\), jadi perlu mencari minor 3x3 berikutnya
\(C_{11}\) tidak perlu dihitung karena dikali dengan elemen 0 maka hasilnya akan 0
\(C_{12}\):
\(C_{13}\):
\(C_{14}\):
Untuk \(M_{12}\):
Untuk menghitung \(C_{ij} = (-1)^{i+j}\) det \((M_{ij}^{3 \times 3})\), jadi perlu mencari minor 3x3 berikutnya
\(C_{11}\):
\(C_{12}\):
\(C_{13}\):
\(C_{14}\):
Untuk \(M_{13}\):
Untuk menghitung \(C_{ij} = (-1)^{i+j}\) det \((M_{ij}^{3 \times 3})\), jadi perlu mencari minor 3x3 berikutnya
\(C_{11}\):
\(C_{12}\) Tidak perlu di hitung karena elemennya 0, jadi hasilnya akan 0
\(C_{13}\):
\(C_{14}\):
Untuk \(M_{14}\):
Untuk menghitung \(C_{ij} = (-1)^{i+j}\) det \((M_{ij}^{3 \times 3})\), jadi perlu mencari minor 3x3 berikutnya
\(C_{11}\):
\(C_{12}\) Tidak perlu karena elemennya 0 jadi hasilnya akan 0
\(C_{13}\):
\(C_{14}\):
Untuk \(M_{15}\):
Untuk menghitung \(C_{ij} = (-1)^{i+j}\)det\((M_{ij}^{3 \times 3})\), jadi perlu mencari minor 3x3 berikutnya
\(C_{11}\):
\(C_{12}\): Tidak perlu karena elemennya 0
\(C_{13}\)
\(C_{14}\):
Langkah 3: Setelah menemukan minor 3x3, langkah selanjutnya menghitung determinan det\((M_{ij}^{3 \times 3})\)
Untuk \(M_{11}\):
Hitung \(C_{12}\):
\(det(M_{12}^{3 \times 3})=1(C_{11}^{3 \times 3}) + 2(C_{12}^{3 \times 3}) +(-2)(C_{13}^{3 \times 3})\)
Untuk menghitung \(C_{ij} = (-1)^{i+j}\) det \((M_{ij}^{2 \times 2})\), jadi perlu mencari minor 2x2 berikutnya
Hitung \(C_{13}\):
\(det(M_{13}^{3 \times 3})=1(C_{11}^{3 \times 3}) + 1(C_{12}^{3 \times 3}) +(-2)(C_{13}^{3 \times 3})\)
Untuk menghitung \(C_{ij} = (-1)^{i+j}\) det \((M_{ij}^{2 \times 2})\), jadi perlu mencari minor 2x2 berikutnya
Hitung \(C_{14}\):
Untuk menghitung \(C_{ij} = (-1)^{i+j}\) det \((M_{ij}^{2 \times 2})\), jadi perlu mencari minor 2x2 berikutnya
Untuk \(M_{11}\) diperoleh:
Untuk \(M_{12}\):
Hitung \(C_{11}\):
Untuk menghitung \(C_{ij} = (-1)^{i+j}\) det \((M_{ij}^{2 \times 2})\), jadi perlu mencari minor 2x2 berikutnya
Hitung \(C_{12}\):
Untuk menghitung \(C_{ij} = (-1)^{i+j}\) det \((M_{ij}^{2 \times 2})\), jadi perlu mencari minor 2x2 berikutnya
Hitung \(C_{13}\):
Untuk menghitung \(C_{ij} = (-1)^{i+j}\) det \((M_{ij}^{2 \times 2})\), jadi perlu mencari minor 2x2 berikutnya
Hitung \(C_{14}\):
Untuk menghitung \(C_{ij} = (-1)^{i+j}\) det \((M_{ij}^{2 \times 2})\), jadi perlu mencari minor 2x2 berikutnya
Untuk \(M_{12}\) diperoleh:
Untuk \(M_{13}\):
Hitung \(C_{11}\):
Untuk menghitung \(C_{ij} = (-1)^{i+j}\) det \((M_{ij}^{2 \times 2})\), jadi perlu mencari minor 2x2 berikutnya
Hitung \(C_{13}\):
Untuk menghitung \(C_{ij} = (-1)^{i+j}\) det \((M_{ij}^{2 \times 2})\), jadi perlu mencari minor 2x2 berikutnya
Hitung \(C_{14}\):
Untuk menghitung \(C_{ij} = (-1)^{i+j}\) det \((M_{ij}^{2 \times 2})\), jadi perlu mencari minor 2x2 berikutnya
Untuk \(M_{13}\) diperoleh:
Untuk \(M_{14}\):
Hitung \(C_{11}\):
Untuk menghitung \(C_{ij} = (-1)^{i+j}\) det \((M_{ij}^{2 \times 2})\), jadi perlu mencari minor 2x2 berikutnya
Hitung \(C_{13}\):
Untuk menghitung \(C_{ij} = (-1)^{i+j}\) det \((M_{ij}^{2 \times 2})\), jadi perlu mencari minor 2x2 berikutnya
Hitung \(C_{14}\):
Untuk menghitung \(C_{ij} = (-1)^{i+j}\) det \((M_{ij}^{2 \times 2})\), jadi perlu mencari minor 2x2 berikutnya
Untuk \(M_{14}\) diperoleh:
Untuk \(M_{15}\):
Hitung \(C_{11}\):
Untuk menghitung \(C_{ij} = (-1)^{i+j}\) det \((M_{ij}^{2 \times 2})\), jadi perlu mencari minor 2x2 berikutnya
Hitung \(C_{13}\):
Untuk menghitung \(C_{ij} = (-1)^{i+j}\) det \((M_{ij}^{2 \times 2})\), jadi perlu mencari minor 2x2 berikutnya
Hitung \(C_{14}\):
Untuk menghitung \(C_{ij} = (-1)^{i+j}\) det \((M_{ij}^{2 \times 2})\), jadi perlu mencari minor 2x2 berikutnya
Untuk \(M_{15}\) diperoleh:
Maka diperoleh:
det\(M_{11}=-149\)
det\(M_{12}=-172\)
det\(M_{13}=259\)
det\(M_{14}=-75\)
det\(M_{15}=58\)
Jadi, untuk mencari determinan 5x5 yaitu:
dimana \(C_{ij}=(-1)^{i+j} det(M_{ij})\)
diketahui dari perhitungan di atas, maka di cari kofaktornya yaitu:
Jadi, det(A) adalah \(1837\)