Penyelesaian Sistem Persamaan Linear

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear#

soal no 3 sistem persamaan:#

\[ 2x_1 + 2x_2 = 4 \]
\[ x_1 + x_2 = 2 \]

buat sistem ini dalam bentuk matriks augmented:

\[\begin{split} \begin{bmatrix} 2 & 2 & | & 4 \\ 1 & 1 & | & 2 \end{bmatrix} \end{split}\]

  1. membuat elemen di bawah pivot menjadi nol.

\[ R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2 \]

  1. Setelah melakukan perhitungan, kita mendapatkan:

\[\begin{split} R_1: \quad 2 - 2 \cdot 1 = 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 = 0 \\ 4 - 2 \cdot 2 = 0 \end{split}\]

Sehingga, matriks augmented menjadi:

\[\begin{split} \begin{bmatrix} 1 & 1 & | & 2 \\ 0 & 0 & | & 0 \end{bmatrix} \end{split}\]

Dari baris kedua, kita dapat mengekspresikan (x_1) dalam bentuk (x_2):

\[ x_1 + x_2 = 2 \implies x_1 = 2 - x_2 \]

Karena kita memiliki satu persamaan dengan dua variabel, kita dapat menyatakan solusi dalam bentuk parameter. Misalkan (x_2 = t), maka:

\[ x_1 = 2 - t \]

Jadi, solusi umum dari sistem persamaan ini adalah:

\[\begin{split} \begin{cases} x_1 = 2 - p \\ x_2 = p \end{cases} \end{split}\]

di mana (p) adalah parameter bebas.

soal no 4 sistem persamaan:#

\[ x_1 + x_2 = 5 \]
\[ x_1 + 2x_3 = 6 \]

Kita akan menyelesaikannya menggunakan metode eliminasi Gauss. Pertama, kita tuliskan sistem ini dalam bentuk matriks augmented:

\[\begin{split} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 5 \\ 1 & 0 & 2 & | & 6 \end{bmatrix} \end{split}\]

Langkah pertama adalah membuat elemen di bawah pivot (elemen pertama di kolom pertama) menjadi nol. Kita lakukan operasi berikut:

\[ R_2 \leftarrow R_2 - R_1 \]

Setelah melakukan perhitungan, kita mendapatkan:

\[\begin{split} R_2: \quad 1 - 1 = 0 \\ 0 - 1 = -1 \\ 2 - 0 = 2 \\ 6 - 5 = 1 \end{split}\]

Sehingga, matriks augmented menjadi:

\[\begin{split} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 5 \\ 0 & -1 & 2 & | & 1 \end{bmatrix} \end{split}\]

Selanjutnya, kita dapat menyelesaikan baris kedua untuk mengekspresikan (x_2) dalam bentuk (x_3):

\[ -1x_2 + 2x_3 = 1 \implies x_2 = 2x_3 - 1 \]

Sekarang kita substitusi (x_2) ke dalam persamaan pertama:

\[ x_1 + (2x_3 - 1) = 5 \]

Maka kita dapatkan:

\[ x_1 + 2x_3 - 1 = 5 \implies x_1 = 6 - 2x_3 \]

Karena kita memiliki dua persamaan dengan tiga variabel, kita dapat menyatakan solusi dalam bentuk parameter. Misalkan (x_3 = p), maka:

\[ x_1 = 6 - 2p \]
\[ x_2 = 2p - 1 \]
\[ x_3 = p \]

Jadi, solusi umum dari sistem persamaan ini adalah:

\[\begin{split} \begin{cases} x_1 = 6 - 2p \\ x_2 = 2p - 1 \\ x_3 = p \end{cases} \end{split}\]

di mana (p) adalah parameter bebas.

soal no 1 sistem persamaan:#

Contoh Soal 1

Diberikan sistem persamaan:

\[ x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 6 \]
\[ 2x_1 + 4x_2 + 6x_3 = 12 \]
\[ x_3 + x_2 = 2 \]

Kita akan menyelesaikannya menggunakan metode eliminasi Gauss. Pertama, kita tuliskan sistem ini dalam bentuk matriks augmented:

\[\begin{split} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 6 \\ 2 & 4 & 6 & | & 12 \\ 0 & 1 & 1 & | & 2 \end{bmatrix} \end{split}\]

Langkah 1: Eliminasi Baris

Langkah pertama adalah membuat elemen di bawah pivot (elemen pertama di kolom pertama) menjadi nol. Kita lakukan operasi berikut:

\[ R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 \]

Setelah melakukan perhitungan, kita mendapatkan:

\[\begin{split} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 6 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 2 \end{bmatrix} \end{split}\]

Dari hasil tersebut tidak diperlukan langkah selanjutnya karena elemen di bawah pivot sudah 1 kolom ke 2

Selanjutnya, menyelesaikan sistem persamaan

dari persamaan 1 diperoleh:

\[x_1 + x_2 + x_3 = 6\]

untuk persamaan 2 tidak diperoleh informasi karena 0=0

dari persamaan 3 diperoleh:

\[x_2 + x_3 = 2\]

dari persamaan 3 dapat diselesaikan untuk \(x_2\):

\[x_2 = 2 - x_3\]

maka, untuk \(x_2\) ini bisa disubtitusikan pada persamaan pertama, maka diperoleh:

\[x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 6\]
\[x_1 + 2x_2 (2-x_3) + 3x_3 = 6\]
\[x_1 + 4-2x_3 + x_3 = 6\]
\[x_1 + 4 + x_3 = 6\]
\[x_1 = 6 - 4 - x_3\]
\[x_1 = 2 - x_3\]

kesimpulan solusi:

\[x_1 = 2- x_3\]
\[x_2 = 2 - x_3\]
\[x_3=x_3\]

untuk \(x_3\) parameter bebas tidak ada yang membatasi.

soal no 2 sistem persamaan:#

\[ x_1 + x_2 + x_3 = 3 \]
\[ 2x_1 + x_3 = 5 \]
\[ x_1 + 2x_2 = 3 \]

Kita akan menyelesaikannya menggunakan metode eliminasi Gauss. Pertama, kita tuliskan sistem ini dalam bentuk matriks augmented:

\[\begin{split} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 3 \\ 2 & 0 & 1 & | & 5 \\ 1 & 2 & 0 & | & 3 \end{bmatrix} \end{split}\]

Langkah 1: Eliminasi Baris

Langkah pertama adalah membuat elemen di bawah pivot (baris 2 kolom 1 dan baris 3 kolom 1) menjadi nol. Kita lakukan operasi berikut:

\[ R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 \]
\[R_3 \leftarrow R_3 - R_1\]

Setelah melakukan perhitungan, kita mendapatkan:

\[\begin{split} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 6 \\ 0 & -2 & -1 & | & -1 \\ 0 & 1 & -1 & | & 0 \end{bmatrix} \end{split}\]

selanjutnya jadikan 0 pada baris ke 3 kolom ke 2

\[R_3 \leftarrow R_3 + 1/2R_2\]

maka akan menjadi

\[\begin{split} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 6 \\ 0 & -2 & -1 & | & -1 \\ 0 & 0 & -3/2 & | & -1/2 \end{bmatrix} \end{split}\]

selanjutnya rubah elemen baris ke 3 kolom ke 3 menjadi 1

\[R_3 \rightarrow -2/3R_3\]

maka menjadi

\[\begin{split} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 6 \\ 0 & -2 & -1 & | & -1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 1/3 \end{bmatrix} \end{split}\]

langkah selanjutnya yaitu subtitusi:

dari persamaan 3 diperoleh:

\[x_3 = 1/3\]

dari persamaan 2 diperoleh:

\[-2x_2 - 1x_3 = -1\]

kita subtitusikan dari persamaan 3:

\[-2x_2 - 1x_3 = -1\]
\[-2x_2 - 1/3 = -1 \]
\[-2x_2 = -1 + 1/3 = -2/3\]
\[x_2 = -2/3 + 2\]
\[x_2 = 1/3\]

sekarang memiliki \(x_2= 1/3\) dan \(x_3= 1/3\) maka subtitusi di baris pertama, akan diperoleh

\[x_1 + x_2 + x_3 = 3\]
\[x_1 + 1/3 + 1/3 = 3\]
\[x_1 + 2/3 = 3\]
\[x_1 = 3 - 2/3\]
\[x_1 = 7/3\]

jadi, solusi penyelesaiannya adalah:

\[x_1 = 7/3\]
\[x_2= 1/3\]
\[x_3 = 1/3\]

Pada geogebra ini titik solusinya berbentuk desimal, tetapi jika dkonversi ke pecahan hasilnya akan sama dengan titik solusi yang berbentuk pecahan.