Operasi Baris Elementer

Operasi Baris Elementer#

Sebelumnya, kita mengetahui terlebih dahulu Konsep Dasar Matriks.

Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun dalam baris dan kolom.

contoh:

\[\begin{split} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \end{split}\]

Note:

\( R_1, R_2, R_3 \), untuk baris pertama, kedua, ketiga.

Tiga Jenis Operasi Baris Elementer#

2. Mengalikan baris dengan skala non-nol#

Notasi: \(R_i \rightarrow k . R_i\) dimana k \(\neq 0\)

contoh: Mengalikan baris pertama dengan 3 (\(R_1 \rightarrow 3R_1\))

3. Menambahkan kelipatan satu baris ke baris lain#

Notasi: \(R_i \rightarrow R_i + k . R_j\)

contoh: Menambahkan dua kali baris kedua ke baris pertama \((R_1 \rightarrow R_1 + 2R_2)\)

Contoh Operasi Baris Elementer#

Matriks Awal:

\[\begin{split} \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 5 & 3 & 1 \end{bmatrix} \end{split}\]

Langkah 1: Menukar \(R_1\) dan \(R_2\)

\[\begin{split} \begin{bmatrix} 8 & 10 & 12 \\ 2 & 4 & 6 \\ 5 & 3 & 1 \end{bmatrix} \end{split}\]

Langkah 2: Mengalikan \(R_3\) dengan \(2\):

\[\begin{split} \begin{bmatrix} 8 & 10 & 12 \\ 2 & 4 & 6 \\ 10 & 6 & 2 \end{bmatrix} \end{split}\]

Langkah 3: Menambahkan \(-3R_1\) ke \(R_3\):

\[\begin{split} \begin{bmatrix} 8 & 10 & 12 \\ 2 & 4 & 6 \\ -14 & -24 & -34 \end{bmatrix} \end{split}\]

Bentuk Eselon Baris dan Eselon Baris Tereduksi#

a. Bentuk Eselon Baris:#

  • Baris nol berada di bawah baris non-nol

  • Elemen pivot (elemen pertama non-nol pada suatu baris) berada di kanan elemen pivot baris Sebelumnya

b. Bentuk Eselon Baris Tereduksi:#

  • Memenuhi semua syarat bentuk eselon baris

  • Setiap elemen pivot bernilai 1

  • Kolom yang mengandung elemen pivot hanya memiliki satu elemen non-nol (yaitu pivot)

Aplikasi Baris Elementer#

1. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier#

  • Menggunakan eliminasi gauss atau gauss-jordan

2. Mencari Invers Matriks#

  • Menggabungkan matriks dengan matriks identitas dan melakukan OBE hingga diperoleh invers

3. Menghitung Determinan#

  • Menggunakan reduksi baris untuk menyederhanakan perhitungan determinan

Contoh Soal:#

Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan OBE:

\[x+2y-3z=8\]
\[2x-y+2z=6\]
\[4x-y+3z=4\]

Penyelesaiam:

  1. Ubah ke bentuk matriks augmentasi

  2. Lakukan OBE hingga memperoleh bentuk eselon baris Tereduksi

  3. Interprestasikan hasilnya

Jawaban:#

Pada soal di atas terdiri dari beberapa persamaan linier yang disebut dengan sistem persamaan linier. Untuk menyelesaikan, soal ini maka menggunakan eliminasi gauss. Apa itu eleminiasi Gauss?

Eliminasi Gauss#

Eliminasi Gauss merupakan suatu algoritma yang menggunakan operasi baris elementer untuk memecahkan sistem persamaan linear dengan mengubah menjadi matriks augmented lalu mengubah ke bentuk yang lebih mudah diselesaikan, seperti bentuk eselon baris. Tujuannya mengurangi jumlah variable secara bertahap hingga diperoleh solusi.

Matriks Augmented yaitu menyusun persamaan menjadi matriks. Jika pada persamaan terdiri dari 3 persamaan dan 3 variable maka ukuran matriksnya akan 3 baris 4 kolom, dengan rincian 3 baris itu merupakan banyaknya persamaan, dan untuk nilai dari matriksnya diperoleh dari koefisien dari variable pada persamaan, sedangkan 4 kolom itu yang bagian paling kanan merupakan konstanta dari persamaan tersebut.

Berikut penyelesaian dari sistem persamaan linier menggunakan eliminasi gauss:

langkah 1: merubah bentuk persamaan menjadi matriks augmented

\[x+2y-3z=8\]
\[2x-y+2z=6\]
\[4x-y+3z=4\]

maka untuk matriks augmentednya adalah:

\[\begin{split} \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & | & 8 \\ 2 & -1 & 2 & | & 6\\ 4 & -1 & 3 & | & 4 \end{bmatrix} \end{split}\]

langkah 2: bentuk eselon baris, yang pertama jadikan elemen pivot pertama (baris 1 kolom 1) bernilai 1, jika sudah bernilai 1 tidak perlu diubah, setelah itu nolkan elemen yang berada di bawah pivot (\(R_2\) dan \(R_3\)).

  • \(R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1\):

\[\begin{split} \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & | & 8 \\ 2 & -1 & 2 & | & 6\\ 4 & -1 & 3 & | & 4 \end{bmatrix} \end{split}\]
\[\begin{split} \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & | & 8 \\ 0 & -5 & -8 & | & -10\\ 4 & -1 & 3 & | & 4 \end{bmatrix} \end{split}\]

langkah 3: rubah baris ke 3 kolom pertama menjadi 0 (seluruh elemen di bawah pivot di rubah menjadi 0)

  • \(R_3 \rightarrow R_3 - 4R_1\)

\[\begin{split} \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & | & 8 \\ 0 & -5 & 8 & | & -10\\ 4 & -1 & 3 & | & 4 \end{bmatrix} \end{split}\]
\[\begin{split} \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & | & 8 \\ 0 & -5 & 8 & | & -10\\ 0 & -9 & 15 & | & -28 \end{bmatrix} \end{split}\]

langkah 4: merubah elemen di bawah pivot kolom ke dua menjadi nol

\(R_3 \rightarrow R_3 - 9/5 R_2\)

\[\begin{split} \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & | & 8 \\ 0 & -5 & 8 & | & -10\\ 0 & -9 & 15 & | & -28 \end{bmatrix} \end{split}\]
\[\begin{split} \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & | & 8 \\ 0 & -5 & 8 & | & -10\\ 0 & 0 & 0 & | & -10 \end{bmatrix} \end{split}\]

Dari matriks tersebut pada garis ketiga mendapatkan persamaan:

\[0x+0y+0z=-10\]

Ini merupakan persamaan yang tidak konsisten, dan berarti sistem persamaan ini tidak memiliki solusi.