# Penyelesaian Sistem Persamaan Linear ### soal no 3 sistem persamaan: $$ 2x_1 + 2x_2 = 4 $$ $$ x_1 + x_2 = 2 $$ buat sistem ini dalam bentuk matriks augmented: $$ \begin{bmatrix} 2 & 2 & | & 4 \\ 1 & 1 & | & 2 \end{bmatrix} $$ 1. membuat elemen di bawah pivot menjadi nol. $$ R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2 $$ 2. Setelah melakukan perhitungan, kita mendapatkan: $$ R_1: \quad 2 - 2 \cdot 1 = 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 = 0 \\ 4 - 2 \cdot 2 = 0 $$ Sehingga, matriks augmented menjadi: $$ \begin{bmatrix} 1 & 1 & | & 2 \\ 0 & 0 & | & 0 \end{bmatrix} $$ Dari baris kedua, kita dapat mengekspresikan \(x_1\) dalam bentuk \(x_2\): $$ x_1 + x_2 = 2 \implies x_1 = 2 - x_2 $$ Karena kita memiliki satu persamaan dengan dua variabel, kita dapat menyatakan solusi dalam bentuk parameter. Misalkan \(x_2 = t\), maka: $$ x_1 = 2 - t $$ Jadi, solusi umum dari sistem persamaan ini adalah: $$ \begin{cases} x_1 = 2 - p \\ x_2 = p \end{cases} $$ di mana \(p\) adalah parameter bebas. ### soal no 4 sistem persamaan: $$ x_1 + x_2 = 5 $$ $$ x_1 + 2x_3 = 6 $$ Kita akan menyelesaikannya menggunakan metode eliminasi Gauss. Pertama, kita tuliskan sistem ini dalam bentuk matriks augmented: $$ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 5 \\ 1 & 0 & 2 & | & 6 \end{bmatrix} $$ Langkah pertama adalah membuat elemen di bawah pivot (elemen pertama di kolom pertama) menjadi nol. Kita lakukan operasi berikut: $$ R_2 \leftarrow R_2 - R_1 $$ Setelah melakukan perhitungan, kita mendapatkan: $$ R_2: \quad 1 - 1 = 0 \\ 0 - 1 = -1 \\ 2 - 0 = 2 \\ 6 - 5 = 1 $$ Sehingga, matriks augmented menjadi: $$ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 5 \\ 0 & -1 & 2 & | & 1 \end{bmatrix} $$ Selanjutnya, kita dapat menyelesaikan baris kedua untuk mengekspresikan \(x_2\) dalam bentuk \(x_3\): $$ -1x_2 + 2x_3 = 1 \implies x_2 = 2x_3 - 1 $$ Sekarang kita substitusi \(x_2\) ke dalam persamaan pertama: $$ x_1 + (2x_3 - 1) = 5 $$ Maka kita dapatkan: $$ x_1 + 2x_3 - 1 = 5 \implies x_1 = 6 - 2x_3 $$ Karena kita memiliki dua persamaan dengan tiga variabel, kita dapat menyatakan solusi dalam bentuk parameter. Misalkan \(x_3 = p\), maka: $$ x_1 = 6 - 2p $$ $$ x_2 = 2p - 1 $$ $$ x_3 = p $$ Jadi, solusi umum dari sistem persamaan ini adalah: $$ \begin{cases} x_1 = 6 - 2p \\ x_2 = 2p - 1 \\ x_3 = p \end{cases} $$ di mana \(p\) adalah parameter bebas. ### soal no 1 sistem persamaan: Contoh Soal 1 Diberikan sistem persamaan: $$ x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 6 $$ $$ 2x_1 + 4x_2 + 6x_3 = 12 $$ $$ x_3 + x_2 = 2 $$ Kita akan menyelesaikannya menggunakan metode eliminasi Gauss. Pertama, kita tuliskan sistem ini dalam bentuk matriks augmented: $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 6 \\ 2 & 4 & 6 & | & 12 \\ 0 & 1 & 1 & | & 2 \end{bmatrix} $$ **Langkah 1: Eliminasi Baris** Langkah pertama adalah membuat elemen di bawah pivot (elemen pertama di kolom pertama) menjadi nol. Kita lakukan operasi berikut: $$ R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 $$ Setelah melakukan perhitungan, kita mendapatkan: $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 6 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 2 \end{bmatrix} $$ Dari hasil tersebut tidak diperlukan langkah selanjutnya karena elemen di bawah pivot sudah 1 kolom ke 2 Selanjutnya, menyelesaikan sistem persamaan dari persamaan 1 diperoleh: $$x_1 + x_2 + x_3 = 6$$ untuk persamaan 2 tidak diperoleh informasi karena 0=0 dari persamaan 3 diperoleh: $$x_2 + x_3 = 2$$ dari persamaan 3 dapat diselesaikan untuk $x_2$: $$x_2 = 2 - x_3$$ maka, untuk $x_2$ ini bisa disubtitusikan pada persamaan pertama, maka diperoleh: $$x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 6$$ $$x_1 + 2x_2 (2-x_3) + 3x_3 = 6$$ $$x_1 + 4-2x_3 + x_3 = 6$$ $$x_1 + 4 + x_3 = 6$$ $$x_1 = 6 - 4 - x_3$$ $$x_1 = 2 - x_3$$ kesimpulan solusi: $$x_1 = 2- x_3$$ $$x_2 = 2 - x_3$$ $$x_3=x_3$$ untuk $x_3$ parameter bebas tidak ada yang membatasi. ### soal no 2 sistem persamaan: $$ x_1 + x_2 + x_3 = 3 $$ $$ 2x_1 + x_3 = 5 $$ $$ x_1 + 2x_2 = 3 $$ Kita akan menyelesaikannya menggunakan metode eliminasi Gauss. Pertama, kita tuliskan sistem ini dalam bentuk matriks augmented: $$ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 3 \\ 2 & 0 & 1 & | & 5 \\ 1 & 2 & 0 & | & 3 \end{bmatrix} $$ **Langkah 1: Eliminasi Baris** Langkah pertama adalah membuat elemen di bawah pivot (baris 2 kolom 1 dan baris 3 kolom 1) menjadi nol. Kita lakukan operasi berikut: $$ R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 $$ $$R_3 \leftarrow R_3 - R_1$$ Setelah melakukan perhitungan, kita mendapatkan: $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 6 \\ 0 & -2 & -1 & | & -1 \\ 0 & 1 & -1 & | & 0 \end{bmatrix} $$ selanjutnya jadikan 0 pada baris ke 3 kolom ke 2 $$R_3 \leftarrow R_3 + 1/2R_2$$ maka akan menjadi $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 6 \\ 0 & -2 & -1 & | & -1 \\ 0 & 0 & -3/2 & | & -1/2 \end{bmatrix} $$ selanjutnya rubah elemen baris ke 3 kolom ke 3 menjadi 1 $$R_3 \rightarrow -2/3R_3$$ maka menjadi $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 6 \\ 0 & -2 & -1 & | & -1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 1/3 \end{bmatrix} $$ langkah selanjutnya yaitu subtitusi: dari persamaan 3 diperoleh: $$x_3 = 1/3$$ dari persamaan 2 diperoleh: $$-2x_2 - 1x_3 = -1$$ kita subtitusikan dari persamaan 3: $$-2x_2 - 1x_3 = -1$$ $$-2x_2 - 1/3 = -1 $$ $$-2x_2 = -1 + 1/3 = -2/3$$ $$x_2 = -2/3 + 2$$ $$x_2 = 1/3$$ sekarang memiliki $x_2= 1/3$ dan $x_3= 1/3$ maka subtitusi di baris pertama, akan diperoleh $$x_1 + x_2 + x_3 = 3$$ $$x_1 + 1/3 + 1/3 = 3$$ $$x_1 + 2/3 = 3$$ $$x_1 = 3 - 2/3$$ $$x_1 = 7/3$$ jadi, solusi penyelesaiannya adalah: $$x_1 = 7/3$$ $$x_2= 1/3$$ $$x_3 = 1/3$$ Pada geogebra ini titik solusinya berbentuk desimal, tetapi jika dkonversi ke pecahan hasilnya akan sama dengan titik solusi yang berbentuk pecahan.